नाव और धारा (Boat and Stream) असल में समय-चाल-दूरी (Time-Speed-Distance) का ही एक रूप है — बस यहाँ माध्यम (नदी की धारा) खुद चलता है। इसीलिए हर सवाल सिर्फ दो चालों से बनता है: अनुकूल चाल (D) = नाव की चाल + धारा की चाल और प्रतिकूल चाल (U) = नाव की चाल − धारा की चाल। ये Complete Notes research पर आधारित हैं — सभी सूत्र, short tricks, पूछे जाने वाले patterns, आम गलतियाँ और विभिन्न परीक्षाओं के असली PYQ प्रश्न (Exam + Year के साथ) एक ही जगह।
सबसे पहले सच: '30 Types' वाली बात
कई जगह 'नाव और धारा के 30 Types' कहा जाता है, लेकिन असली वर्गीकरण सिर्फ 4–5 प्रकार का है — Time, Speed, Distance, Average Speed और Ratio। बाकी सारे 'types' इन्हीं के अलग-अलग शब्दों वाले रूप हैं (टोपी वाला, बेड़ा/raft वाला, दो नावों वाला, ferry वाला आदि)। इसलिए types रटने के बजाय लगभग 10 सूत्र और 5 तरीके समझ लो — हर सवाल इन्हीं से होगा। शर्त सिर्फ एक है: नाव की चाल (u) हमेशा धारा की चाल (v) से ज़्यादा होनी चाहिए, वरना नाव धारा के विपरीत आगे बढ़ ही नहीं पाएगी।
हिंदी शब्दावली — Paper में शब्द बदलकर आते हैं
- धारा के अनुकूल = अनुप्रवाह, बहाव के साथ, धारा की दिशा में (Downstream)
- धारा के प्रतिकूल = उर्ध्वप्रवाह, प्रतिप्रवाह, धारा के विरुद्ध (Upstream)
- शांत जल = स्थिर जल (Still Water)
- शांत जल में नाव की चाल = u, धारा की चाल = v, सापेक्ष चाल = Relative Speed, नाविक = Boatman
नोट: एक paper में 'अनुकूल' लिखा होता है तो दूसरे में 'अनुप्रवाह' — सवाल शब्दावली पर ही अटक जाता है, Maths पर नहीं। दोनों शब्द याद रखो।
सभी महत्वपूर्ण सूत्र
- अनुकूल चाल: D = u + v
- प्रतिकूल चाल: U = u − v
- शांत जल में नाव की चाल: u = (D + U) / 2
- धारा की चाल: v = (D − U) / 2
- समय = दूरी / चाल (अनुकूल में D से, प्रतिकूल में U से — कभी सिर्फ u से नहीं)
- आने-जाने का कुल समय: T = d/(u+v) + d/(u−v)
- कुल समय T दिया हो तो दूरी: d = T × (u² − v²) / (2u)
- समय का अंतर t दिया हो तो दूरी: d = t × (u² − v²) / (2v)
- Round Trip की औसत चाल: 2DU/(D+U) = (u² − v²)/u — यह हमेशा u से कम होती है
- समय का अनुपात: उसी दूरी पर t(प्रतिकूल)/t(अनुकूल) = D/U, इसलिए u/v = (t2 + t1)/(t2 − t1)
- 'n गुना समय' trick: प्रतिकूल में अनुकूल से n गुना समय लगे तो u/v = (n+1)/(n−1)
- चालों का अनुपात: D : U = a : b हो तो u : v = (a+b) : (a−b)
- समान समय trick: बराबर समय T तक अनुकूल और प्रतिकूल चलने पर दूरियों का अंतर = 2vT
- इकाई बदलाव: km/h से m/s = × 5/18, m/s से km/h = × 18/5, मिनट से घंटा = ÷ 60
खास Tricks जो Exam में काम आती हैं
- तैरती वस्तु (बेड़ा, लकड़ी, टोपी): इसका कोई engine नहीं होता, इसकी चाल = सिर्फ धारा की चाल v।
- टोपी वाला सवाल: नाव से वस्तु गिरे, नाव t समय तक आगे जाए और फिर लौटे — लौटकर वस्तु तक पहुँचने में भी उतना ही समय t लगता है, धारा की चाल कुछ भी हो।
- दो नावें आमने-सामने: एक अनुकूल, दूसरी प्रतिकूल हो तो सापेक्ष चाल = u1 + u2 — धारा पूरी तरह cancel हो जाती है। धारा जोड़ना ही इस सवाल का trap है।
- दो समीकरण वाले सवाल (Bank Mains का पसंदीदा): दो यात्राओं के समीकरणों में 1/U और 1/D को x, y मानकर हल करो, फिर u और v निकालो।
पूछे जाने वाले Patterns (पहचानो, रटो मत)
सीधे D/U निकालना, D-U से नाव/धारा निकालना, एक चाल + धारा से दूसरी चाल, दोनों समयों से चाल, समय-अनुपात, n-गुना समय, कुल समय से धारा/नाव/दूरी (quadratic), समय-अंतर से दूरी, औसत चाल, शांत जल में समय/दूरी, अनुपात और प्रतिशत वाले, मिनट-अंश वाली मिली-जुली इकाइयाँ, km/h–m/s बदलाव, नाव की लंबाई वाला train-style सवाल, दोनों समीकरण दिए हुए दो-यात्रा सवाल, अलग-अलग दूरियाँ अनुकूल-प्रतिकूल, समान समय–अलग दूरियाँ, यात्रा के हिस्से (parts), चाल बदलना, बेड़ा/तैरती वस्तु, टोपी वाला, दो नावों का मिलना, दो नावों का दूसरा मिलन, ferry पार करके दूसरा मिलन, Data Sufficiency, Quantity Comparison, X/Y coded दूरियाँ, और escalator/तैराक/नाविक के रूप में छिपा वही सवाल।
12 आम गलतियाँ जो Marks कटवाती हैं
- दिशा उलटना — अनुकूल में जोड़ना है, प्रतिकूल में घटाना है।
- D को ही नाव की चाल बता देना — 'नाव की चाल' का मतलब शांत जल की चाल u होता है।
- ÷2 भूलना — u में भी ÷2 है, v में भी ÷2 है।
- औसत चाल में (D+U)/2 लगा देना — सही है 2DU/(D+U)।
- इकाई न बदलना — मिनट, सेकंड, मीटर को पहले घंटा/km में बदलो।
- दोनों तरफ का समय बराबर मान लेना, जबकि दिया अलग-अलग हो।
- Round trip में एक तरफ की दूरी d और कुल 2d में गड़बड़ करना।
- सिर्फ एक तरफ का समय निकालकर रुक जाना — कुल समय दोनों का जोड़ है।
- दो नावों की सापेक्ष चाल में धारा जोड़ देना — वह cancel होती है।
- v ≥ u होने पर भी प्रतिकूल चाल निकालना — ऐसा हो ही नहीं सकता।
- अनुपात/समय-अंतर का संकेत छोड़कर लंबा algebra करना — समय बर्बाद होता है।
- मन में हिसाब करना — पहले D और U लिखो, फिर आगे बढ़ो।
विभिन्न परीक्षाओं में पूछे गए वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Exam + Year के साथ)
नीचे के प्रश्न असली previous-year प्रश्नों के सार हैं — हर एक के साथ परीक्षा, वर्ष और shift दिया है। जहाँ विकल्प source में दर्ज नहीं थे, वहाँ बनाए हुए विकल्प नहीं दिए गए हैं; प्रश्न, सही उत्तर और हल दिया है।
SSC के प्रश्न
प्रश्न 1 — SSC CGL 2023 Tier-I (18 Jul 2023, Shift 2): एक नाविक 144 km प्रतिकूल 12 घंटे में और वही दूरी अनुकूल 9 घंटे में तय करता है। धारा की चाल?
हल: U = 12, D = 16, धारा = (16−12)/2 = 2 km/h
प्रश्न 2 — SSC CGL 2024 Tier-I (17 Sept 2024, Shift 2): एक motorboat अनुकूल 18 घंटे और वापसी में 36 घंटे लेती है। नाव : धारा का अनुपात?
हल: समय 1:2, इसलिए चाल D:U = 2:1, अनुपात = (2+1):(2−1) = 3 : 1
प्रश्न 3 — SSC CGL 2024 Tier-I (12 Sept 2024, Shift 3): नाविक प्रतिकूल 2 km एक घंटे में और अनुकूल 1 km दस मिनट में जाता है। शांत जल में 6 km जाने का समय?
हल: U = 2, D = 6, u = 4, समय = 6/4 = 1 घंटा 30 मिनट
प्रश्न 4 — SSC CGL 2024 Tier-I (11 Sept 2024, Shift 3): नाव 54 km प्रतिकूल 6 घंटे में जाती है, धारा 4.8 km/h है। 279 km अनुकूल जाने का समय?
हल: U = 9, D = 9 + 2×4.8 = 18.6, समय = 279/18.6 = 15 घंटे
प्रश्न 5 — SSC CGL 2023 Tier-I (24 Jul 2023, Shift 1): नाव 120 km प्रतिकूल जाकर लौटने में कुल 30 घंटे लेती है; 25 km प्रतिकूल + 40 km अनुकूल में 7 घंटे लगते हैं। शांत जल में 16 घंटे में दूरी?
हल: समीकरणों से U = 5, D = 20, u = 12.5, दूरी = 12.5 × 16 = 200 km
प्रश्न 6 — SSC CGL 2024 Tier-I (10 Sept 2024, Shift 3): नाव 18 km/h, धारा 3 km/h। 105 km जाकर लौटने का कुल समय?
हल: 105/21 + 105/15 = 5 + 7 = 12 घंटे
प्रश्न 7 — SSC MTS 2022 (19 Jun 2023, Shift 2): नाव प्रतिकूल P से Q तक 6 घंटे, फिर अनुकूल Q से R तक अगले 6 घंटे चलती है। P से R की दूरी 72 km है। धारा की चाल?
हल: समान समय trick — 72 = 2 × v × 6, इसलिए v = 6 km/h
प्रश्न 8 — SSC MTS 2022 (13 Jun 2023, Shift 3, Hindi Medium): प्रतिकूल चाल 8 km/h, धारा 4 km/h। नाव प्रतिकूल x km और अनुकूल x km जाती है, कुल समय 9 घंटे। x = ?
हल: u = 12, D = 16, x/8 + x/16 = 9, इसलिए x = 48 km
RRB NTPC के प्रश्न (Station Master इसी NTPC के अंतर्गत आने वाला post है — उसके प्रश्न इन्हीं papers से आते हैं)
प्रश्न 9 — RRB NTPC Graduate CBT-I (06 Jun 2025, Shift 1): Vishal 184 km प्रतिकूल 48 घंटे में और अनुकूल 12 घंटे में तय करता है। धारा की चाल?
हल: D = 15.33, U = 3.83, धारा = (15.33−3.83)/2 = 5.75 km/h
प्रश्न 10 — RRB NTPC Tier-I (27 Apr 2016, Shift 3): एक व्यक्ति नाव से अनुकूल 16 km दो घंटे में जाता है; प्रतिकूल उसी समय में आधी दूरी तय करता है। धारा की चाल?
हल: D = 8, U = 4, धारा = (8−4)/2 = 2 km/h
प्रश्न 11 — RRB NTPC Graduate CBT-II (13 Oct 2025, Shift 2): नाव की अनुकूल चाल 25 km/h और प्रतिकूल चाल 15 km/h है। धारा की चाल?
हल: (25−15)/2 = 5 km/h
प्रश्न 12 — RRB NTPC Graduate CBT-I (24 Jun 2025, Shift 2): एक घंटे में नाव अनुकूल 46 km और प्रतिकूल 36 km जाती है। धारा की चाल?
हल: (46−36)/2 = 5 km/h
प्रश्न 13 — RRB NTPC Graduate CBT-I (17 Jun 2025, Shift 1): नाव 32.2 km प्रतिकूल जाने में 76 मिनट लेती है; नाव : धारा = 9 : 8। 44.9 km प्रतिकूल + 57.8 km अनुकूल का कुल समय (लगभग)?
उत्तर (source में दर्ज): लगभग 1.9 घंटे
प्रश्न 14 — RRB NTPC Graduate CBT-I (05 Jun 2025, Shift 3): नाव 10.2 km प्रतिकूल जाने में 51 मिनट लेती है; नाव : धारा = 7 : 6। 17.7 km प्रतिकूल + 66.3 km अनुकूल का कुल समय?
हल: U निकालकर दोनों समय जोड़ने पर = 1.9 घंटे
Bank और अन्य परीक्षाओं के प्रश्न
प्रश्न 15 — MP Police Constable 2023 (08 Sept 2023, Shift 2): लड़की की टोपी पानी में गिरती है; नाव प्रतिकूल 12 मिनट और चलती है, फिर लौटती है और टोपी ठीक starting point पर मिलती है; टोपी starting point से 3 km दूर बह गई थी। धारा की चाल?
हल: लौटने का समय = जाने का समय = 0.2 घंटा; टोपी कुल 0.4 घंटे बही; धारा = 3/0.4 = 7.5 km/h
प्रश्न 16 — IBPS PO Mains 2022 (Memory-Based, 26 Nov 2022) — Data Sufficiency: प्रतिकूल चाल 24 km/h दी है और एक statement में अनुकूल 144 km उतने ही समय में तय होती है जिससे अनुकूल चाल 36 निकलती है। धारा : नाव का अनुपात?
हल: u = (36+24)/2 = 30, v = (36−24)/2 = 6, अनुपात = 1 : 5 (सिर्फ वही statement पर्याप्त है)
प्रश्न 17 — SBI PO Mains 2022 (Memory-Based, 02 Jan 2022) — Quantity Comparison: Quantity I: 20 km अनुकूल 4 घंटे, प्रतिकूल 5 घंटे में जाने वाली नाव की शांत जल चाल। Quantity II: शांत जल में 48 km तीन घंटे में जाने वाली नाव (धारा 4 km/h) को प्रतिकूल में अतिरिक्त लगने वाला समय। कौन बड़ी है?
हल: QI = 4.5 km/h, QII = 1 घंटा, इसलिए Quantity I > Quantity II
NDA के बारे में एक ज़रूरी नोट
Research में NDA का कोई direct नाव-धारा PYQ verify नहीं हुआ। NDA में नाव पर जो असली प्रश्न मिला है, वह इस chapter का नहीं, Height and Distance का है — NDA Maths, 18 Sept 2016: 150 m ऊँची चट्टान से चलती नाव का अवनमन कोण 2 मिनट में 60° से 45° हो जाता है, नाव की चाल ज्ञात करो। इसलिए इसे नाव-धारा का PYQ कहना गलत होगा। इसी तरह किसी प्रश्न को RPSC PYQ तब तक नहीं कहा गया, जब तक उसका RPSC paper verify न हो जाए।
अभ्यास के लिए Classic प्रश्न (PYQ नहीं, Practice)
- नाव 13 km/h, धारा 4 km/h — 68 km अनुकूल का समय? उत्तर: 4 घंटे (D = 17)
- धारा के साथ चाल 15 km/h, धारा 2.5 km/h — धारा के विरुद्ध चाल? उत्तर: 10 km/h
- किसी दूरी को अनुकूल 4 घंटे और प्रतिकूल 8 घंटे 48 मिनट लगते हैं — नाव : धारा? उत्तर: 8 : 3
- Motorboat 15 km/h, 30 km जाकर लौटने में 4 घंटे 30 मिनट — धारा? उत्तर: 5 km/h
- 24 km प्रतिकूल + 36 km अनुकूल = 6 घंटे; 36 km प्रतिकूल + 24 km अनुकूल = 6.5 घंटे — नाव और धारा? उत्तर: नाव 10 km/h, धारा 2 km/h
- दो नावें X (8 km/h) और Y (7 km/h) 300 km दूर से आमने-सामने चलती हैं — कब मिलेंगी? उत्तर: 20 घंटे (धारा cancel)
याद रखने की आखिरी बात: हर सवाल में पहले D और U लिखो। आधे से ज़्यादा गलतियाँ Maths में नहीं, यहीं होती हैं — दिशा पहचानने और इकाई बदलने में।
— DivanshuGS | Maths Notes Series